[转]欧几里德辗转相除法求最大公约数

辗转相除，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b ， d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

递推求最大公约数

   1:   //递推求最大公约数

   2:   program yuefen;

   3:   var a,b,c:integer;

   4:   

   5:   begin

   6:     read(a,b);

   7:     repeat

   8:       c:=a mod b;

   9:      a:=b;

  10:      b:=c;

  11:    until c=0;

  12:    writeln(a);

  13:  end.